Fonctions logiques, électronique numériques

Algèbre booléenne et opérateurs logiques

Introduction

Les systèmes logiques fonctionnent en mode binaire → les variables d’entrée et de sortie ne prennent que deux valeurs :

« 0 » ou « 1 ».

Ces valeurs (états) « 0 » et « 1 » correspondent à des plages définies à l’avance.

Exemple 4.1
– Technologie électrique TTL :
« 1 » ↔ 2,4 à 5 V
« 0 » ↔ 0 à 0,8 V

– Technologie pneumatique :
« 1 » ↔ présence de pression
« 0 » ↔ absence de pression

Les valeurs « 0 » et « 1 » ne représentent pas des nombres réels
mais plutôt l’état d’une variable (logique) → on les appelle donc
« niveaux logiques ».

+ Convention de nommage des synonymes des « 0 » et « 1 » :

Ces deux valeurs peuvent être nommées de différentes façons :
– Niveau logique « 1 » : Vrai, Fermé, Marche, Haut, Allumé, Oui ;
– Niveau logique « 0 » : Faux, Ouvert, Arrêt, Bas, Éteint, Non.

++ Types de logiques

On définit deux types de logiques :

– Logique positive :
– niveau haut −→ état logique « 1 » (5V)
– niveau bas −→ état logique « 0 » (0V)

– Logique négative :
– niveau haut −→ état logique « 0 » (0V)
– niveau bas −→ état logique « 1 » (5V)

La logique binaire basée sur l’algèbre de Boole permet de décrire
dans un modèle mathématique les manipulations et traitement des
informations binaires, et d’analyser les systèmes numériques.
Il existe 3 fonctions élémentaires dans l’algèbre de Boole :

– addition logique : appelée OU, symbolisée par un plus : « + » ;
– multiplication logique : appelée ET, symbolisée par un point :
« . » ;
– complémentation : appelée NON, symbolisée par un sur alignement : « »
→ tout circuit numérique peut être défini à l’aide d’une fonction logique (expression logique) qui représente la variable de la sortie en fonction des variables d’entrée.

+++ Variables logiques (binaires)

Ce sont des variables ne pouvant prendre que deux valeurs distinctes : « 0 » ou « 1 ».

Une variable binaire peut représenter n’importe
quel dispositif binaire (contact, lampe, électrovanne...)

++++ Convention :

Tout appareil est schématisé à l’état de repos.

Dans tous les cas,
l’action sur un appareil sera notée a, b, ... et la non action a, b, ...

Exemple 4.2

Bouton poussoir → contact repos et contact travail.

1er cas : schéma d’un contact ouvert au repos dit « contact travail ».
2ème cas : schéma d’un contact fermé au repos dit « contact repos ».

Exemple 4.3

Relais : c’est un interrupteur opérant de façon électromagnétique ; lorsqu’un courant approprié passe dans le
charbon, une force magnétique déplace les armatures
imposant l’ouverture ou la fermeture des contacts.

 Il est présenté dans sa position non alimentée (au repos).
Remarqué : Ils peuvent être fermés ou ouverts au repos.

Hiérarchie des opérations

Dans une expression sans parenthèses, on effectue d’abord les
opérations ET et, par la suite, les OU.

Théorèmes mono variables
À chaque opérateur correspond un élément neutre qui, lorsqu’il
est opéré avec une variable quelconque A, donne un résultat identique à cette variable.
A+0 = A                             A.1 = A

Élément nul
À chaque opérateur correspond un élément nul qui, lorsqu’il est
opéré avec une variable quelconque A, donne un résultat identique
à cet élément nul.
A+1 = 1                                 A.0 = 0

Idempotence
Le résultat d’une opération entre une variable A et elle-même
est égal à cette variable.
A+ A = A                                    A.A = A

 Complémentation
      _                                                 _

A+ A = 1                                     A. A = 0

Involution

Le complément du complément d’une variable A est égal à cette
variable.
_

_

A = A

Associativité
Les opérations +, ., et ⊕ sont associatives :
A+B +C = (A+B)+C = A+(B +C)
A.B.C = (A.B).C = A.(B.C)
A⊕ B ⊕ C = (A⊕ B)⊕ C = A⊕ (B ⊕ C)

Commutativité

Les opérations +, ., et ⊕ sont commutatives :
A+B = B + A                A. B = B. A          A⊕B = B ⊕ A

Absorption

Absorption 1 : A+(A.B) = A                           A.(A+Y ) = A

                               _                                           _
Absorption 2 : (A+B).B = AB                        (A.B)+B = A+B

Ce théorème est particulièrement intéressant pour la conception de circuits numériques puisqu’il permet d’éliminer les termes
inutiles et par là-même de réduire la complexité du circuit.

Dualité

Deux expressions sont dites duales si l’on obtient l’une en changeant dans l’autre, les ET par des OU, les OU par des ET, les « 1 » par
des « 0 » et les « 0 » par des « 1 ».
                      ___      _   _                                 ____      _  _

Si on sait que A.B = A+B, alors, on saura que A+B = A.B par dualité.

Théorème de De Morgan

Le théorème de De Morgan est une expression du principe de
dualité.

                             _________    _   _   _

Première  forme : A+B+C+··· = A. B. C.···

                             _________     _     _    _
Deuxième forme : A.B.C.···    = A+ B+ C+···

Sommes de produits,  produits de sommes et forme canonique

Les expressions booléennes peuvent être manipulées sous différentes formes, certaines d’entre elles étant nécessaires pour simplifier ces expressions :

– somme de produits ;

                                             _
ex. : F(A,B,C,D) = A.B + A.C.D +B.D

– produit de sommes ;

                                                 _
ex. : F(A,B,C,D) = (A+B).(A+C +D).(B +D)

Une expression est sous sa forme canonique si tous les symboles
qui représentent les variables apparaissent dans tous les termes qui
la constituent.

 Lorsqu’une équation est écrite à partir de sa table de
vérité, elle est dans sa forme canonique.

Forme disjonctive et sommes de mintermes

Si une fonction est une somme de produits, on a une somme
canonique ou forme disjonctive.

                         _                              _  _    _  _  _
Exemple : F = A.B.C + A.B.C + A.B.C+ A.B.C
Une fonction booléenne peut être représentée sous forme d’une
somme de produits utilisant les mintermes.

Les mintermes sont représentés par des « 1 » dans une table de vérité.
La table suivante donne les mintermes d’une fonction de trois
variables :

              m0      m1        m2      m3       m4        m5       m6     m7

              _ _  _   _ _       _    _   _            _  _      _             _   
A B C    A.B.C  A.B.C  A.B.C  A.B.C  A.B.C  A.B.C  A.B.C  A.B.C
0 0 0  1        0       0       0        0       0       0       0
0 0 1  0        1       0       0       0       0    0       0
0 1 0  0       0       1       0        0       0       0       0
0 1 1  0        0       0       1        0       0       0       0
1 0 0  0        0       0       0        1       0       0       0
1 0 1  0        0       0       0        0       1       0       0
1 1 0  0        0       0       0        0       0       1       0
1 1 1  0        0       0       0        0       0       0       1

Exemple 4.5

Représentation sous forme de somme de mintermes
                            _    _    _

F(A,B,C) = A.B +B.(A+C)

              _  _    _  _
= A.B + A.B +B.C

                  _      _  _         _    _  _         _  
= A.B.(C +C)+ A.B.(C +C)+B.C.(A+ A)

    _  _  _    _  _            _  _           _    
= A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C
= ∑ m(0,1,4,6,7)

Relations d’identité utilisables avec l’opérateur ou exclusif :

                   _    _                 _   _   
1.   a ⊕ b = a b  + a  b = (a + b).(a + b)

      _______           _      _                    __      _                _
2.   (a ⊕ b) = a ⊕ b = a ⊕ b = ab + ab = (a + b)(a + b)

                                   _

3.  a ⊕ a = 0 et a ⊕ a = 1
                   _

4. a ⊕ 1 = a et a ⊕ 0 = a

5. a(b ⊕ z) = ab ⊕ az

7. a +b = a ⊕ b si ab = 0
8. a ⊕ b = c ⇒ c ⊕ b = a,  c ⊕ a = b, a ⊕ b ⊕ c = 0

                           _

9. a ⊕ (a +b) = ab
                         _

10. a ⊕ ab = ab

                   FIG-4                  Exemple sur les portes logiques

Fig-5

Fig-6

                                          Fig-7 Circuit 7400

Merci pour lire et d’apprendre comment on peut développer nouveaux circuits logiques 7400,7408,...